Урвуу матрицын элементүүдийн нийлбэр. урвуу матриц

Шугаман тэгшитгэлийн системийг (3)-ын талаар шийдвэрлэх x 1Гауссын аргыг ашиглая.

Шугаман тэгшитгэлийн үлдсэн системийг (2) ижил төстэй аргаар шийддэг.

Эцэст нь баганын векторуудын бүлэг x 1 , x 2 , ..., x nурвуу матриц үүсгэдэг А-1.

Оролцох матрицуудыг олсны дараа анхаарна уу P 1 , P 2 , ... , P n-1болон үл хамаарах матрицууд М 1, М 2, ..., М n-1(Гауссын арилгах арга хуудсыг үзнэ үү) болон матриц байгуулах

M=M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1 ,

системийг (2) хэлбэрт шилжүүлж болно

• Макс 1 = Би 1,
• Макс 2 = Би 2,
• ......
• MAX n = Me n .

Эндээс байна x 1 ,x 2 , ..., x n, өөр өөр баруун талтай Би 1, Би 2, ..., Би n.

Урвуу матрицыг тооцоолохдоо анхны матрицын баруун талд таних матрицыг нэмж, урагш болон хойшхи чиглэлд Гауссын аргыг хэрэглэх нь илүү тохиромжтой.

Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Урвуу матрицыг тооцоолох жишээ

Бид урвуу матрицыг олох хэрэгтэй гэж бодъё А-1Өгөгдсөн матрицын хувьд А:

Баруун талд нь таних матрицыг бичье.

"4" гэсэн тэргүүлэх элементийг сонгоод (энэ нь үнэмлэхүй утгаараа хамгийн том нь) эхний болон гурав дахь мөрийг солино.

Эхний баганад Гауссын хасалтыг хэрэглэнэ.

Бид хоёр, гурав дахь мөрийг дахин байрлуулж, хоёр дахь баганад Гауссын арилгах аргыг хэрэглэнэ.

Ганц бус А матрицын хувьд А -1 гэсэн өвөрмөц матриц байдаг

A*A -1 =A -1 *A = E,

Энд E нь А-тай ижил эрэмбийн ижил төстэй матриц. А -1 матрицыг А матрицын урвуу матриц гэнэ.

Хэрэв хэн нэгэн мартсан тохиолдолд таних матрицын диагональ нь нэгээр дүүрсэнээс бусад бүх байрлалыг тэгээр дүүргэсэн байх бөгөөд энэ нь таних матрицын жишээ юм.

Хавсарсан матрицын аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох

Урвуу матрицыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энд A ij - элементүүд a ij.

Тэдгээр. Урвуу матрицыг тооцоолохын тулд та энэ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Дараа нь түүний бүх элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олж, тэдгээрээс шинэ матриц зохио. Дараа нь та энэ матрицыг зөөх хэрэгтэй. Мөн шинэ матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Матрицын хувьд A -1-ийг ол

Шийдэл А -1-ийг хавсаргасан матрицын аргаар олъё. Бидэнд det A = 2 байна. А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олъё. Энэ тохиолдолд матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд нь томьёоны дагуу тэмдгээр авсан матрицын өөрийн харгалзах элементүүд байх болно.

Бидэнд A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2 байна. Бид хавсарсан матрицыг үүсгэдэг.

Бид A* матрицыг зөөвөрлөнө:

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.

Бид авах:

Хавсарсан матрицын аргыг ашиглан хэрэв A -1 байвал ол

Шийдэл Юуны өмнө бид урвуу матриц байгаа эсэхийг шалгахын тулд энэ матрицын тодорхойлолтыг тооцоолно. Бидэнд байгаа

Энд бид хоёр дахь эгнээний элементүүдэд өмнө нь (-1) үржүүлсэн гурав дахь эгнээний элементүүдийг нэмж, дараа нь хоёр дахь эгнээний тодорхойлогчийг өргөжүүлсэн. Энэ матрицын тодорхойлолт нь тэг биш тул түүний урвуу матриц байдаг. Хавсарсан матрицыг бүтээхийн тулд бид энэ матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олдог. Бидэнд байгаа

Томъёоны дагуу

тээврийн матриц A*:

Дараа нь томъёоны дагуу

Элемент хувиргалтын аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох

Томьёоны дагуу урвуу матрицыг олох аргаас гадна урвуу матрицыг олох арга байдаг бөгөөд үүнийг элементар хувиргалтын арга гэж нэрлэдэг.

Элементар матрицын хувиргалт

Дараахь хувиргалтыг энгийн матрицын хувиргалт гэж нэрлэдэг.

1) мөр (багана) дахин зохион байгуулах;

2) мөрийг (багана) тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

3) өмнө нь тодорхой тоогоор үржүүлсэн өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг эгнээний (баганын) элементүүдэд нэмэх.

A -1 матрицыг олохын тулд бид тэгш өнцөгт B = (A|E) матрицыг (n; 2n) байгуулж, баруун талд байгаа А матрицад Е ижил төстэй матрицыг хуваах шугамаар онооно.

Нэг жишээ авч үзье.

Анхан шатны хувиргалтын аргыг ашиглан A -1 бол ол

Бид В матрицыг үүсгэдэг.

В матрицын мөрүүдийг α 1, α 2, α 3 гэж тэмдэглэе. Б матрицын мөрөнд дараах хувиргалтыг хийцгээе.

урвуу матрицматриц юм A−1, өгөгдсөн анхны матрицыг үржүүлэхэд Аүр дүнд нь таних матриц үүсдэг Э:

AA −1 = A −1 A =Э.

Урвуу матрицын арга.

Урвуу матрицын арга- энэ нь матрицыг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргуудын нэг бөгөөд үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тохирч байгаа тохиолдолд шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Систем байгаасай nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх:

Ийм системийг матрицын тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно A*X = B,

Хаана
- системийн матриц,

- үл мэдэгдэх багана,

- чөлөөт магадлалын багана.

Гарсан матрицын тэгшитгэлээс бид зүүн талд байгаа матрицын тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлж X-г илэрхийлнэ. А-1, үр дүнд нь:

A -1 * A * X = A -1 * B

Үүнийг мэдсээр байж A -1 * A = E, Дараа нь E * X = A -1 * Bэсвэл X = A -1 * B.

Дараагийн алхам бол урвуу матрицыг тодорхойлох явдал юм А-1чөлөөт нэр томъёоны баганаар үржүүлнэ Б.

Матрицаас урвуу матриц Аүед л байдаг дет А≠ 0 . Үүнийг харгалзан урвуу матрицын аргыг ашиглан SLAE-ийг шийдэхдээ эхний алхам бол олох явдал юм дет А. Хэрэв дет А≠ 0 , тэгвэл систем нь урвуу матрицын аргыг ашиглан олж авах боломжтой зөвхөн нэг шийдэлтэй байдаг, гэхдээ хэрэв det A = 0, дараа нь ийм систем урвуу матрицын аргашийдэж чадахгүй.

Урвуу матрицыг шийдвэрлэх.

Үйлдлийн дараалал урвуу матрицын шийдлүүд:

1. Бид матрицын тодорхойлогчийг олж авдаг А. Хэрэв тодорхойлогч нь тэгээс их бол бид тэгтэй тэнцүү бол урвуу матрицыг эндээс олж чадахгүй;
2. Шилжүүлсэн матрицыг олох AT.
3. Бид алгебрийн нэмэлтүүдийг хайж, дараа нь матрицын бүх элементүүдийг алгебрийн нэмэлтүүдээр солино.
4. Бид урвуу матрицыг алгебрийн нэмэлтүүдээс цуглуулдаг: бид үүссэн матрицын бүх элементүүдийг анх өгөгдсөн матрицын тодорхойлогчоор хуваадаг. Эцсийн матриц нь анхныхтай харьцуулахад шаардлагатай урвуу матриц байх болно.

Доорх алгоритм урвуу матрицын шийдлүүдҮндсэндээ дээрхтэй ижил бөгөөд ялгаа нь хэдхэн алхамаар л байна: эхлээд бид алгебрийн нэмэлтүүдийг тодорхойлж, дараа нь холбоот матрицыг тооцоолно. C.

1. Өгөгдсөн матриц квадрат эсэхийг тодорхойлно уу. Хэрэв хариулт нь сөрөг байвал урвуу матриц байж болохгүй гэдэг нь тодорхой болно.
2. Өгөгдсөн матриц квадрат эсэхийг тодорхойлно уу. Хэрэв хариулт нь сөрөг байвал урвуу матриц байж болохгүй гэдэг нь тодорхой болно.
3. Бид алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцдог.
4. Бид нэгдлийн (харилцан, залгаа) матрицыг бүрдүүлдэг C.
5. Бид урвуу матрицыг алгебрийн нэмэлтүүдээс бүрдүүлдэг: хавсарсан матрицын бүх элементүүд. Cанхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Эцсийн матриц нь өгөгдсөнтэй харьцуулахад шаардлагатай урвуу матриц байх болно.
6. Бид хийсэн ажлыг шалгана: анхны болон үр дүнгийн матрицуудыг үржүүл, үр дүн нь таних матриц байх ёстой.

Үүнийг хавсаргасан матриц ашиглан хийх нь дээр.

Теорем: Хэрэв бид баруун талд байгаа квадрат матрицад ижил дарааллаар тодорхойлогддог матрицыг оноож, мөрүүдийн дээгүүр энгийн хувиргалтуудыг ашиглан зүүн талд байгаа анхны матрицыг таних матриц болгон хувиргавал баруун талд олж авсан матриц болно. эхнийхээсээ урвуу байх.

Урвуу матрицыг олох жишээ.

Дасгал хийх. Матрицын хувьд хавсарсан матрицын аргыг ашиглан урвуу талыг ол.

Шийдэл. Өгөгдсөн матрицад нэмнэ Абаруун талд 2-р эрэмбийн таних матриц байна:

1-р мөрөөс бид 2-ыг хасна:

Хоёр дахь мөрөөс бид эхний 2-ыг хасна:

Энэ сэдэв нь оюутнуудын дунд хамгийн их үзэн яддаг сэдэв юм. Хамгийн муу нь, сонгон шалгаруулалтад тэнцсэн хүмүүс байх.

Гол нь урвуу элементийн тухай ойлголт (би зөвхөн матрицын тухай яриагүй) биднийг үржүүлэх үйлдлийг хэлдэг. Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт хүртэл үржүүлэх үйлдлийг нарийн төвөгтэй үйлдэл гэж үздэг бөгөөд матрицыг үржүүлэх нь ерөнхийдөө тусдаа сэдэв бөгөөд надад бүхэл бүтэн догол мөр, видео хичээл зориулагдсан болно.

Өнөөдөр бид матрицын тооцооллын нарийн ширийнийг авч үзэхгүй. Матрицууд хэрхэн томилогдсон, тэдгээрийг хэрхэн үржүүлдэг, үүнээс юу гарахыг санаарай.

Дүгнэлт: Матрицын үржүүлэх

Юуны өмнө тэмдэглэгээний талаар тохиролцъё. $\left[ m\times n \right]$ хэмжээтэй $A$ матриц нь яг $m$ мөр, $n$ багана бүхий тооны хүснэгт юм:

\=\underbrace(\left[ \begin(матриц) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((а)_(22)) & ... & (а)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\төгсгөл(матриц) \баруун])_(n)\]

Мөр, баганыг санамсаргүй холихоос зайлсхийхийн тулд (надад итгээрэй, шалгалтанд та нэгийг хоёр, зарим мөрийг битгий хэл андуурч болно) зургийг хараарай:

Матрицын эсийн индексийг тодорхойлох

Юу болоод байна? Хэрэв та $OXY$ стандарт координатын системийг зүүн дээд буланд байрлуулж, тэнхлэгүүдийг матрицыг бүхэлд нь хамрахаар чиглүүлбэл энэ матрицын нүд бүр $\left(x;y \right)$ координатуудтай өвөрмөц холбоотой байж болно. - энэ нь мөр болон баганын дугаар байх болно.

Координатын системийг яагаад зүүн дээд буланд байрлуулсан бэ? Тийм ээ, учир нь бид тэндээс ямар ч бичвэр уншиж эхэлдэг. Үүнийг санахад маш амархан.

Яагаад $x$ тэнхлэг баруун тийш биш доош чиглэсэн байдаг вэ? Дахин хэлэхэд энгийн зүйл: стандарт координатын системийг аваад ($ x $ тэнхлэг баруун тийш, $ y $ тэнхлэг дээшилнэ) матрицыг хамрахаар эргүүл. Энэ бол цагийн зүүний дагуу 90 градусын эргэлт юм - бид зураг дээрх үр дүнг харж байна.

Ерөнхийдөө бид матрицын элементүүдийн индексийг хэрхэн тодорхойлохыг олж мэдсэн. Одоо үржүүлэхийг харцгаая.

Тодорхойлолт. $A=\left[ m\times n \right]$ ба $B=\left[ n\times k \right]$ матрицууд нь эхний баганын тоо хоёр дахь мөрийн тоотой давхцах үед тууштай гэж нэрлэдэг.

Яг тэр дарааллаар. $A$ ба $B$ матрицууд $\left(A;B \right)$ эрэмбэлэгдсэн хос үүсгэдэг гэж андуурч болно: хэрэв тэдгээр нь энэ дарааллаар нийцэж байвал $B байх шаардлагагүй болно. $ ба $A$. $\left(B;A \right)$ хос мөн адил байна.

Зөвхөн тохирсон матрицуудыг үржүүлж болно.

Тодорхойлолт. $A=\left[ m\times n \right]$ ба $B=\left[ n\times k \right]$ тохирох матрицуудын үржвэр нь шинэ матриц $C=\left[ m\times k \right байна. ]$ , элементүүдийг нь $((c)_(ij))$ томъёогоор тооцоолно:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Өөрөөр хэлбэл: $C=A\cdot B$ матрицын $((c)_(ij))$ элементийг авахын тулд эхний матрицын $i$-мөр болох $j$-г авах шаардлагатай. -хоёр дахь матрицын багана, дараа нь энэ мөр, баганын элементүүдийг хосоор нь үржүүлнэ. Үр дүнг нэмнэ үү.

Тийм ээ, энэ бол хатуу тодорхойлолт юм. Үүнээс хэд хэдэн баримт нэн даруй гарч ирдэг:

1. Матрицын үржүүлэх нь ерөнхийдөө солигддоггүй: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Гэхдээ үржүүлэх нь ассоциатив байна: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Бүр хуваарилалтаар: $\left(A+B \баруун)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Мөн дахин хуваарилалтаар: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Үржүүлэх үйлдлийн хуваарилалтыг зүүн ба баруун нийлбэрийн хүчин зүйлд тусад нь тайлбарлах шаардлагатай байсан, учир нь үржүүлэх үйлд нь шилжих чадваргүй байдаг.

Хэрэв $A\cdot B=B\cdot A$ байвал ийм матрицыг коммутатив гэж нэрлэдэг.

Тэнд ямар нэг зүйлээр үржүүлдэг бүх матрицуудын дунд онцгой нь байдаг - ямар нэгэн $A$ матрицаар үржүүлэхэд дахин $A$ өгдөг:

Тодорхойлолт. $A\cdot E=A$ эсвэл $E\cdot A=A$ бол $E$ матрицыг identity гэж нэрлэдэг. $A$ квадрат матрицын хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд таних матриц байнга ирдэг. Ерөнхийдөө матрицын ертөнцөд байнга зочилдог.

Тэгээд энэ $E$-ын улмаас хэн нэгэн дараагийн бичигдэх бүх утгагүй зүйлийг гаргаж ирсэн.

Урвуу матриц гэж юу вэ

Матрицыг үржүүлэх нь маш их хөдөлмөр шаардсан ажил тул (та олон мөр, баганыг үржүүлэх шаардлагатай) урвуу матрицын тухай ойлголт нь хамгийн энгийн зүйл биш юм. Мөн зарим нэг тайлбарыг шаарддаг.

Гол тодорхойлолт

За үнэнийг мэдэх цаг нь болсон.

Тодорхойлолт. Хэрэв $B$ матрицыг $A$ матрицын урвуу гэж нэрлэдэг

Урвуу матрицыг $((A)^(-1))$ (зэрэгтэй андуурч болохгүй!) гэж тэмдэглэсэн тул тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ энэ тодорхойлолтыг шинжлэхэд тэр даруй хэд хэдэн асуулт гарч ирдэг.

1. Урвуу матриц үргэлж байдаг уу? Үргэлж биш бол яаж тодорхойлох вэ: энэ нь хэзээ байдаг, хэзээ байдаггүй вэ?
2. Яг ийм матриц байдаг гэж хэн хэлсэн бэ? Анхны $A$ матрицын хувьд урвуу олон тоо байвал яах вэ?
3. Эдгээр бүх "урвуу" нь ямар харагдаж байна вэ? Бид тэднийг яг яаж тоолох ёстой вэ?

Тооцооллын алгоритмуудын хувьд бид энэ талаар бага зэрэг дараа ярих болно. Гэхдээ бид үлдсэн асуултуудад яг одоо хариулах болно. Тэдгээрийг тусдаа мэдэгдэл-лемма хэлбэрээр томъёолъё.

Үндсэн шинж чанарууд

$A$ матриц нь зарчмын хувьд $((A)^(-1))$ байхын тулд хэрхэн харагдах ёстойгоос эхэлцгээе. Одоо бид эдгээр матрицууд хоёулаа дөрвөлжин, ижил хэмжээтэй байх ёстойг шалгах болно: $\left[ n\times n \right]$.

Лемма 1. $A$ матриц ба түүний урвуу $((A)^(-1))$ өгөгдсөн. Дараа нь эдгээр матрицууд хоёулаа дөрвөлжин бөгөөд ижил дарааллаар $n$ байна.

Баталгаа. Энэ бол энгийн. $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ матрицыг үзье. Тодорхойлолтоор $A\cdot ((A)^(-1))=E$ бүтээгдэхүүн байдаг тул $A$ болон $((A)^(-1))$ матрицууд үзүүлсэн дарааллаар нийцэж байна:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( тэгшлэх)\]

Энэ нь матрицыг үржүүлэх алгоритмын шууд үр дагавар юм: $n$ ба $a$ коэффициентүүд нь "дамжин өнгөрөх" бөгөөд тэнцүү байх ёстой.

Үүний зэрэгцээ урвуу үржүүлэх нь мөн тодорхойлогддог: $((A)^(-1))\cdot A=E$, тиймээс $((A)^(-1))$ ба $A$ матрицууд мөн заасан дарааллаар нийцэж байна:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( тэгшлэх)\]

Тиймээс ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$-ийн тодорхойлолтын дагуу матрицуудын хэмжээ нь яг таарч байна:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \төгсгөх(эгцлэх)\]

Тэгэхээр $A$, $((A)^(-1))$ ба $E$ гэсэн гурван матриц бүгд $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй квадрат матрицууд болох нь харагдаж байна. Лемма нь батлагдсан.

За, энэ нь аль хэдийн сайн байна. Зөвхөн квадрат матрицууд урвуу байдгийг бид харж байна. Одоо урвуу матриц үргэлж ижил байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Лемма 2. $A$ матриц ба түүний урвуу $((A)^(-1))$ өгөгдсөн. Дараа нь энэ урвуу матриц нь цорын ганц юм.

Баталгаа. Зөрчилдөөнөөр явцгаая: $A$ матрицыг $B$ ба $C$-оос доошгүй хоёр урвуутай байг. Дараа нь тодорхойлолтын дагуу дараахь тэгш байдал үнэн болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Лемма 1-ээс бид $A$, $B$, $C$, $E$ гэсэн дөрвөн матриц бүгд ижил дарааллын квадратууд байна: $\left[ n\times n \right]$. Тиймээс бүтээгдэхүүнийг дараахь байдлаар тодорхойлно.

Матрицын үржүүлэх нь ассоциатив (гэхдээ солигддоггүй!) учраас бид дараах зүйлийг бичиж болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \баруун)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Баруун сум B=C. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид цорын ганц боломжит сонголтыг авсан: урвуу матрицын хоёр хувь тэнцүү байна. Лемма нь батлагдсан.

Дээрх аргументууд нь $b\ne 0$ бүх бодит тоонуудын урвуу элементийн өвөрмөц байдлын нотолгоог бараг үгчлэн давтаж байна. Цорын ганц чухал нэмэлт нь матрицын хэмжээг харгалзан үзэх явдал юм.

Гэсэн хэдий ч бид квадрат матриц бүр урвуу чадвартай эсэх талаар юу ч мэдэхгүй байна. Энд тодорхойлогч нь бидний тусламжид ирдэг - энэ нь бүх квадрат матрицын гол шинж чанар юм.

Лемма 3. $A$ матриц өгөгдсөн. Хэрэв түүний урвуу матриц $((A)^(-1))$ байгаа бол анхны матрицын тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна:

\[\зүүн| A\right|\ne 0\]

Баталгаа. $A$ ба $((A)^(-1))$ нь $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй квадрат матрицууд гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Тиймээс тус бүрийн хувьд тодорхойлогчийг тооцоолж болно: $\left| A\right|$ болон $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Гэсэн хэдий ч бүтээгдэхүүний тодорхойлогч нь тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна:

\[\зүүн| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \баруун|\Баруун сум \зүүн| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \баруун|\]

Гэхдээ тодорхойлолтын дагуу $A\cdot ((A)^(-1))=E$, $E$-ийн тодорхойлогч нь үргэлж 1-тэй тэнцүү байдаг тул

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \баруун|=1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээр тоо тус бүр нь тэг биш байвал хоёр тооны үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

\[\зүүн| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \баруун|\нэг 0.\]

Тэгэхээр $\left| болох нь харагдаж байна A \right|\ne 0$. Лемма нь батлагдсан.

Үнэн хэрэгтээ энэ шаардлага нь нэлээд логик юм. Одоо бид урвуу матрицыг олох алгоритмд дүн шинжилгээ хийх болно - тэг тодорхойлогчтой бол яагаад урвуу матриц зарчмын хувьд байж болохгүй нь бүрэн тодорхой болно.

Гэхдээ эхлээд "туслах" тодорхойлолтыг томъёолъё:

Тодорхойлолт. Ганц матриц гэдэг нь тодорхойлогч нь тэг байх $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй квадрат матриц юм.

Тиймээс бид урвуу матриц бүр нь ганц бие биш гэж хэлж болно.

Матрицын урвуу утгыг хэрхэн олох вэ

Одоо бид урвуу матрицыг олох бүх нийтийн алгоритмыг авч үзэх болно. Ерөнхийдөө нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хоёр алгоритм байдаг бөгөөд бид өнөөдөр хоёр дахь алгоритмыг авч үзэх болно.

Одоо хэлэлцэх нь $\left[ 2\times 2 \right]$ болон - хэсэгчлэн - хэмжээтэй $\left[ 3\times 3 \right]$ хэмжээтэй матрицуудад маш үр дүнтэй. Гэхдээ $\left[ 4\times 4 \right]$ хэмжээнээс эхлэн үүнийг ашиглахгүй байх нь дээр. Яагаад - одоо та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно.

Алгебрийн нэмэлтүүд

Бэлтгээрэй. Одоо өвдөлт гарах болно. Үгүй ээ, бүү санаа зов: банзал өмссөн үзэсгэлэнтэй сувилагч, тортой оймс чам дээр ирж өгзөг рүү чинь тариа хийхгүй. Бүх зүйл илүү зохиомжтой: алгебрийн нэмэлтүүд болон Эрхэмсэг ноёнтон "Холбооны матриц" танд ирдэг.

Гол зүйлээс эхэлье. $A=\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй квадрат матриц байг, түүний элементүүдийг $((a)_(ij))$ гэж нэрлэдэг. Дараа нь ийм элемент бүрийн хувьд бид алгебрийн нэмэлтийг тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт. $A=\left[ матрицын $i$-р мөр ба $j$th баганад байрлах $((a)_(ij))$ элементийн $((A)_(ij))$ алгебрийн нэмэлт. n \times n \right]$ нь маягтын бүтэц юм

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \баруун))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Энд $M_(ij)^(*)$ нь ижил $i$-р мөр болон $j$-р баганыг устгаснаар анхны $A$-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч юм.

Дахин. $\left(i;j \right)$ координаттай матрицын элементийн алгебрийн нэмэлтийг $((A)_(ij))$ гэж тэмдэглэж, схемийн дагуу тооцоолно.

1. Эхлээд бид анхны матрицаас $i$-мөр ба $j$-th баганыг устгана. Бид шинэ квадрат матрицыг олж, тодорхойлогчийг $M_(ij)^(*)$ гэж тэмдэглэнэ.
2. Дараа нь бид энэ тодорхойлогчийг $((\left(-1 \right))^(i+j))$-ээр үржүүлнэ - энэ илэрхийлэл эхэндээ сэтгэл хөдөлгөм мэт санагдаж болох ч үндсэндээ бид зүгээр л урд талын тэмдгийг олж харж байна. $M_(ij)^(*) $.
3. Бид тоолж, тодорхой тоо авдаг. Тэдгээр. алгебрийн нэмэгдэл нь тодорхой тоо бөгөөд шинэ матриц гэх мэт.

$M_(ij)^(*)$ матрицыг өөрөө $((a)_(ij))$ элементийн нэмэлт минор гэж нэрлэдэг. Мөн энэ утгаараа алгебрийн нэмэлтийн дээрх тодорхойлолт нь илүү төвөгтэй тодорхойлолтын онцгой тохиолдол юм - тодорхойлогчийн тухай хичээл дээр бидний үзсэн зүйл.

Чухал тэмдэглэл. Үнэндээ "насанд хүрэгчдийн" математикт алгебрийн нэмэлтийг дараах байдлаар тодорхойлдог.

1. Бид квадрат матрицад $k$ мөр, $k$ багана авдаг. Тэдгээрийн огтлолцол дээр бид $\left[ k\times k \right]$ хэмжээтэй матрицыг авдаг - түүний тодорхойлогчийг $k$ эрэмбийн минор гэж нэрлэдэг ба $((M)_(k))$ гэж тэмдэглэнэ.
2. Дараа нь бид эдгээр "сонгосон" $k$ мөр болон $k$ баганыг хайчилж ав. Дахин нэг удаа та квадрат матриц авах болно - түүний тодорхойлогчийг нэмэлт минор гэж нэрлэдэг бөгөөд $M_(k)^(*)$ гэж тэмдэглэнэ.
3. $M_(k)^(*)$-г $((\left(-1 \баруун))^(t))$-р үржүүл, энд $t$ нь (одоо анхаар!) сонгосон бүх мөрийн тооны нийлбэр юм. ба баганууд. Энэ нь алгебрийн нэмэлт байх болно.

Гурав дахь алхамыг хараарай: үнэндээ 2к $-ын нийлбэр байгаа! Өөр нэг зүйл бол $k=1$-ийн хувьд бид зөвхөн 2 нэр томъёо авах болно - эдгээр нь ижил $i+j$ байх болно - $((a)_(ij))$ элементийн "координатууд" алгебрийн нэмэлтийг хайж байна.

Тиймээс өнөөдөр бид бага зэрэг хялбаршуулсан тодорхойлолтыг ашиглаж байна. Гэхдээ бид дараа нь харах болно, энэ нь хангалттай байх болно. Дараахь зүйл илүү чухал юм.

Тодорхойлолт. $S$ квадрат матрицын $A=\left[ n\times n \right]$ матрицтай холбосон матриц нь $A$-аас олж авсан $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй шинэ матриц юм. $(( a)_(ij))$-г $((A)_(ij))$ алгебрийн нэмэгдлээр солих замаар:

\\Баруун сум S=\зүүн[ \эхлэх(матриц) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & (A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\төгсгөл(матриц) \баруун]\]

Энэ тодорхойлолтыг ойлгох үед гарч ирсэн хамгийн эхний бодол бол "хэчнээн ихийг тооцох ёстой вэ?" Тайвшир: та тоолох хэрэгтэй болно, гэхдээ тийм ч их биш.

За, энэ бүхэн маш сайхан, гэхдээ яагаад хэрэгтэй байна вэ? Гэхдээ яагаад.

Үндсэн теорем

Жаахан эргэж харцгаая. Лемма 3-т $A$ урвуу матриц үргэлж ганц биш байдаг (өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойлогч нь тэг биш: $\left| A \right|\ne 0$) гэж хэлснийг санаарай.

Тэгэхээр, эсрэгээр нь бас үнэн: хэрэв $A$ матриц ганц тоо биш бол энэ нь үргэлж урвуу болно. Мөн $((A)^(-1))$-ын хайлтын схем хүртэл байдаг. Үүнийг шалгана уу:

Урвуу матрицын теорем. $A=\left[ n\times n \right]$ квадрат матрицыг өгье, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна: $\left| A \right|\ne 0$. Дараа нь урвуу матриц $((A)^(-1))$ байгаа бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\зүүн| A \баруун|)\cdot ((S)^(T))\]

Одоо - бүх зүйл адилхан, гэхдээ гар бичмэлээр. Урвуу матрицыг олохын тулд танд хэрэгтэй:

1. $\left| тодорхойлогчийг тооцоол \right|$ ба энэ нь тэг биш эсэхийг шалгаарай.
2. $S$ нэгдлийн матрицыг байгуулах, өөрөөр хэлбэл. $((A)_(ij))$ 100500 алгебрийн нэмэгдлийг тоолж $((a)_(ij))$ байранд байрлуулна.
3. Энэ матрицыг $S$ шилжүүлж, дараа нь $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ тоогоор үржүүлнэ.

Тэгээд л болоо! $((A)^(-1))$ урвуу матриц олдлоо. Жишээнүүдийг харцгаая:

\[\left[ \begin(матриц) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\төгсгөл(матриц) \баруун]\]

Шийдэл. Буцах чадварыг шалгацгаая. Тодорхойлогчийг тооцоолъё:

\[\зүүн| A\right|=\left| \эхлэх(матриц) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай. Энэ нь матриц урвуу гэсэн үг юм. Нэгдлийн матриц үүсгэцгээе:

Алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоолъё:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \баруун))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \баруун))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \баруун))^(2+2))\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Анхаарна уу: тодорхойлогч |2|, |5|, |1| болон |3| $\left[ 1\times 1 \right]$ хэмжээтэй матрицуудын тодорхойлогч болохоос модуль биш. Тэдгээр. Тодорхойлогчдод сөрөг тоо байсан бол "хасах" -ыг хасах шаардлагагүй болно.

Нийтдээ манай нэгдлийн матриц дараах байдалтай байна.

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\зүүн| A \баруун|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(массив) \баруун])^(T))=\left[ \begin (массив)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\]

За одоо бүх зүйл дууслаа. Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулах. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(массив) \баруун]$

Даалгавар. Урвуу матрицыг ол:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(массив) \баруун] \]

Шийдэл. Бид тодорхойлогчийг дахин тооцоолно:

\[\эхлэх(эгцлэх) & \left| \begin(массив)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун|=\эхлэх(матриц) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \баруун)\cdot \left(-1 \баруун)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \баруун)- \\ -\зүүн (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \баруун)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \баруун)\cdot 0 \баруун) \\\төгсгөл(матриц)= \ \ & =\left(2+1+0 \баруун)-\зүүн(4+0+0 \баруун)=-1\ne 0. \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]

Тодорхойлогч нь тэг биш - матриц нь урвуу байдаг. Гэхдээ одоо энэ үнэхээр хэцүү байх болно: бид 9 (есөн, новш!) алгебрийн нэмэлтийг тоолох хэрэгтэй. Мөн тус бүр нь $\left[ 2\times 2 \right]$ тодорхойлогчийг агуулна. Ниссэн:

\[\begin(матриц) ((A)_(11))=((\left(-1 \баруун))^(1+1))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \баруун))^(1+2))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \баруун))^(1+3))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \баруун))^(3+3))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=2; \\ \төгсгөл(матриц)\]

Товчхондоо, нэгдлийн матриц дараах байдлаар харагдах болно.

Тиймээс урвуу матриц нь:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(матриц) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун]=\зүүн[ \begin(массив)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\]

Ингээд л болоо. Хариулт нь энд байна.

Хариулах. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(массив) \баруун ]$

Таны харж байгаагаар жишээ бүрийн төгсгөлд бид шалгалт хийсэн. Үүнтэй холбогдуулан нэг чухал тэмдэглэл:

Шалгахдаа залхуурах хэрэггүй. Анхны матрицыг олсон урвуу матрицаар үржүүлбэл та $E$ авах ёстой.

Энэ шалгалтыг хийх нь жишээлбэл, матрицын тэгшитгэлийг шийдэж байх үед цаашдын тооцоололд алдаа хайхаас хамаагүй хялбар бөгөөд хурдан юм.

Альтернатив арга

Миний хэлсэнчлэн урвуу матрицын теорем нь $\left[ 2\times 2 \right]$ ба $\left[ 3\times 3 \right]$ хэмжээтэй тохирдог (сүүлийн тохиолдолд энэ нь тийм ч "агуу" биш юм " ), харин том матрицуудын хувьд уйтгар гуниг эхэлдэг.

Санаа зоволтгүй: $\left[ 10\times 10 \right]$ матрицын урвуу утгыг тайвнаар олох боломжтой өөр алгоритм байна. Гэхдээ ихэвчлэн тохиолддог шиг энэ алгоритмыг авч үзэхийн тулд бидэнд бага зэрэг онолын мэдээлэл хэрэгтэй.

Анхан шатны өөрчлөлтүүд

Бүх боломжит матрицын хувиргалтуудын дунд хэд хэдэн онцгой зүйл байдаг - тэдгээрийг энгийн гэж нэрлэдэг. Ийм гурван өөрчлөлт байдаг:

1. Үржүүлэх. Та $i$-р мөрийг (багана) аваад дурын тоогоор үржүүлж болно $k\ne 0$;
2. Нэмэлт. $i$-р мөрөнд (багана) өөр $j$-р мөрийг (багана) дурын тоогоор үржүүлсэн $k\ne 0$ нэмнэ (мэдээж та $k=0$ хийж болно, гэхдээ юу вэ? юу ч өөрчлөгдөхгүй гэж үү?
3. Дахин зохион байгуулалт. $i$th болон $j$th мөрүүдийг (багана) аваад газруудыг солино уу.

Яагаад эдгээр хувиргалтыг анхан шатны гэж нэрлэдэг вэ (том матрицуудын хувьд тэдгээр нь тийм ч энгийн харагддаггүй) яагаад зөвхөн гурав нь байдаг вэ - эдгээр асуултууд өнөөдрийн хичээлийн хамрах хүрээнээс гадуур байна. Тиймээс бид дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Өөр нэг чухал зүйл бол бид эдгээр бүх гажуудлыг хавсаргасан матриц дээр хийх ёстой. Тийм, тийм: та зөв сонссон. Одоо өөр нэг тодорхойлолт байх болно - өнөөдрийн хичээлийн сүүлчийнх нь.

Хавсарсан матриц

Сургуульд байхдаа та нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдсэн нь лавтай. За, нэг мөрөөс өөр нэгийг хасч, зарим мөрийг тоогоор үржүүлээрэй - тэгээд л болоо.

Тэгэхээр: одоо бүх зүйл ижил байх болно, гэхдээ "насанд хүрсэн" байдлаар. Бэлэн үү?

Тодорхойлолт. $A=\left[ n\times n \right]$ матриц болон ижил хэмжээтэй $n$ хэмжээтэй $E$ таних матрицыг өгье. Дараа нь $\left[ A\left| залгаа матриц Зөв. \right]$ нь $\left[ n\times 2n \right]$ хэмжээтэй шинэ матриц бөгөөд дараах байдалтай байна:

\[\left[ A\left| Зөв. \right]=\left[ \begin(массив)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & (a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((а)_(22)) & ... & (а)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\]

Товчхондоо, бид $A $ матрицыг авч, баруун талд нь шаардлагатай хэмжээтэй $E $ матрицыг оноож, тэдгээрийг гоо сайхны босоо шугамаар тусгаарладаг - энд танд нэмэлт байна :)

Баригдсан нь юу вэ? Энд юу вэ:

Теорем. $A$ матрицыг урвуу гэж үзье. $\left[ A\left| залгаа матрицыг авч үзье Зөв. \right]$. Хэрэв хэрэглэж байгаа бол энгийн мөрийн хөрвүүлэлтүүд$\left[ E\left| хэлбэрт аваачна Б\зөв. \right]$, өөрөөр хэлбэл. $A$-аас мөрүүдийг үржүүлж, хасаж, дахин цэгцлэснээр баруун талын $E$ матрицыг гаргавал зүүн талд олж авсан $B$ матриц нь $A$-ын урвуу болно.

\[\left[ A\left| Зөв. \right]\to \left[ E\left| Б\зөв. \баруун]\Баруун сум B=((A)^(-1))\]

Энэ маш энгийн! Товчхондоо урвуу матрицыг олох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. $\left[ A\left| хавсарсан матрицыг бич Зөв. \right]$;
2. $A$-н оронд $E$ гарч ирэх хүртэл энгийн мөрийн хөрвүүлэлтийг хийх;
3. Мэдээжийн хэрэг, зүүн талд ямар нэг зүйл гарч ирэх болно - тодорхой матриц $B$. Энэ нь эсрэгээрээ байх болно;
4. АШИГ! :)

Мэдээжийн хэрэг, үүнийг хийхээс хамаагүй хялбар юм. Ингээд хэд хэдэн жишээг харцгаая: $\left[ 3\times 3 \right]$ болон $\left[ 4\times 4 \right]$ хэмжээтэй.

Даалгавар. Урвуу матрицыг ол:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(массив) \баруун]\ ]

Шийдэл. Бид хавсарсан матрицыг үүсгэдэг:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\]

Анхны матрицын сүүлчийн багана нэгээр дүүрсэн тул үлдсэн хэсгээс эхний мөрийг хасна уу.

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \доошоо \\ -1 \\ -1 \\\төгсгөл(матриц)\\\ & \to \зүүн [ \begin(массив)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эхний мөрийг эс тооцвол өөр нэгж байхгүй. Гэхдээ бид үүнд хүрэхгүй, эс тэгвээс шинээр хасагдсан нэгжүүд гурав дахь баганад "үржүүлж" эхэлнэ.

Гэхдээ бид хоёр дахь мөрийг сүүлчийнхээс хоёр удаа хасаж болно - бид зүүн доод буланд нэгийг авна.

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \\\ \доошоо \\ -2 \\\төгсгөл(матриц)\\\ & \зүүн [ \begin(массив)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид сүүлчийн мөрийг эхнийхээс, хоёр дахь мөрөөс хоёр удаа хасаж болно - ингэснээр эхний баганыг "тэг" болгоно.

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\төгсгөл(матриц)\\\ & \ to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёрдахь мөрийг −1-ээр үржүүлээд эхнийхээс 6 дахин хасаад сүүлийн мөрөнд 1 удаа нэмнэ.

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \ \\ \зүүн| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\төгсгөл(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) -6 \\ \дээш доош сунгах \\ +1 \\\ төгсгөл (матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

1 ба 3-р мөрүүдийг солих л үлдлээ.

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\]

Бэлэн! Баруун талд шаардлагатай урвуу матриц байна.

Хариулах. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(массив) \баруун ]$

Даалгавар. Урвуу матрицыг ол:

\[\left[ \begin(матриц) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\төгсгөл(матриц) \баруун]\]

Шийдэл. Бид нэмэлтийг дахин бичнэ:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\]

Жаахан уйлъя, одоо хичнээн их тоолох ёстой юм бэ гэж гуниглаад... тоолж эхэлцгээе. Эхлээд 2 ба 3-р мөрүүдээс 1-р мөрийг хасаж эхний баганыг "тэглэе".

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \доошоо \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\төгсгөл(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид 2-4-р мөрөнд хэтэрхий олон "сул талууд" харж байна. Бүх гурван мөрийг −1-ээр үржүүлээд, үлдсэн хэсгээс 3-р мөрийг хасаж гурав дахь баганыг шатаа.

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \ \\ \зүүн| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \зүүн| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \зүүн| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\ end(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \төгсгөл (массив) \баруун]\эхлэх(матриц) -2 \\ -1 \\ \дээш доош чиглэсэн суман \\ -2 \\\төгсгөл(матриц)\to \\ & \to \left[ \эхлэх(массив)( rrrr|. rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо анхны матрицын сүүлчийн баганыг "хайруулах" цаг болжээ: үлдсэн хэсгээс 4-р мөрийг хасна:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ төгсгөл(массив ) \баруун]\эхлэх(матриц) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцсийн шидэлт: 1 ба 3-р мөрөөс 2-р мөрийг хасаж хоёр дахь баганыг "шатаах":

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ төгсгөл( массив) \баруун]\эхлэх(матриц) 6 \\ \дээш доош сум \\ -5 \\ \ \\\төгсгөл(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(массив)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Мөн дахин таних матриц зүүн талд байгаа нь урвуу тал нь баруун талд байна гэсэн үг юм :)

Хариулах. $\left[ \begin(матриц) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун]$

За одоо бүх зүйл дууслаа. Шалгалтаа өөрөө хий - би галзуурлаа :)

Олон шинж чанараараа урвуутай төстэй.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5

✪ Урвуу матриц (олох 2 арга)

✪ Матрицын урвуу утгыг хэрхэн олох вэ - bezbotvy

✪ Урвуу матриц №1

✪ Урвуу матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх - безботви

✪ Урвуу матриц

Хадмал орчуулга

Урвуу матрицын шинж чанарууд

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Хаана det (\displaystyle \\det)тодорхойлогчийг илэрхийлдэг.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))хоёр квадрат урвуу матрицын хувьд A (\displaystyle A)Тэгээд B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Хаана (... .) T (\displaystyle (...)^(T))шилжүүлсэн матрицыг илэрхийлнэ.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))аливаа коэффициентийн хувьд k ≠ 0 (\displaystyle k\ =0 биш).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай бол (b нь тэг биш вектор) энд x (\displaystyle x)нь хүссэн вектор бөгөөд хэрэв A − 1 (\displaystyle A^(-1))байдаг, тэгвэл x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Үгүй бол шийдлийн орон зайн хэмжээ тэгээс их байна, эсвэл шийдэл огт байхгүй.

Урвуу матрицыг олох аргууд

Хэрэв матриц урвуу бол урвуу матрицыг олохын тулд та дараах аргуудын аль нэгийг ашиглаж болно.

Яг (шууд) аргууд

Гаусс-Жорданы арга

Хоёр матрицыг авъя: the Аба ганц бие Э. Матрицыг танилцуулъя АГаусс-Жорданы аргыг ашиглан мөрийн дагуу хувиргалтуудыг ашиглан таних матриц руу оруулна (та мөн баганын дагуу хувиргалтыг хийж болно, гэхдээ хоорондоо холилдохгүй). Эхний матрицад үйлдэл бүрийг хэрэглэсний дараа хоёр дахь матрицад ижил үйлдлийг хийнэ. Эхний матрицыг нэгж хэлбэрт буулгаж дуусахад хоёр дахь матриц нь тэнцүү болно A−1.

Гауссын аргыг ашиглах үед эхний матрицыг зүүн талд нь энгийн матрицуудын аль нэгээр үржүүлнэ. Λ би (\displaystyle \Lambda _(i))(нэг байрлалаас бусад нь үндсэн диагональ дээр байгаа хөндлөн огтлол эсвэл диагональ матриц):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Баруун сум \Ламбда =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 м / а м м 0 … 0 … 0 … 1 − а м − 1 м / а м м 0 … 0 0 … 0 1 / а м м 0 … 0 0 … 0 – а м / м / 1м … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\цэг &&&\\0&\цэг &1&-a_(м-1м)/а_(мм)&0&\цэг &0\\0&\цэг &0&1/а_(мм)&0&\цэг &0\\0&\цэг &0&-a_( м+1м)/a_(мм)&1&\цэг &0\\&&&\цэг &&&\\0&\цэг &0&-a_(нм)/a_(мм)&0&\цэг &1\төгс(бматриц))).

Бүх үйлдлийг хэрэгжүүлсний дараа хоёр дахь матриц нь тэнцүү байх болно Λ (\displaystyle \Lambda), өөрөөр хэлбэл энэ нь хүссэн зүйл байх болно. Алгоритмын нарийн төвөгтэй байдал - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Алгебрийн нэмэлт матрицыг ашиглах

Матрицын урвуу матриц A (\displaystyle A), хэлбэрээр төлөөлж болно

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Хаана adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- хавсарсан матриц;

Алгоритмын нарийн төвөгтэй байдал нь тодорхойлогч O det-ийг тооцоолох алгоритмын нарийн төвөгтэй байдлаас хамаарах ба O(n²)·O det-тэй тэнцүү байна.

LU/LUP задралыг ашиглах

Матрицын тэгшитгэл A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))урвуу матрицын хувьд X (\displaystyle X)цуглуулга гэж үзэж болно n (\displaystyle n)хэлбэрийн системүүд A x = b (\displaystyle Ax=b). гэж тэмдэглэе би (\displaystyle i)матрицын багана X (\displaystyle X)дамжуулан X i (\displaystyle X_(i)); Дараа нь A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),учир нь би (\displaystyle i)матрицын багана I n (\displaystyle I_(n))нэгж вектор юм e i (\displaystyle e_(i)). өөрөөр хэлбэл урвуу матрицыг олох нь ижил матрицтай, баруун тал нь өөр өөр n тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг. LUP задралыг (O(n³) хугацаа) хийсний дараа n тэгшитгэл бүрийг шийдвэрлэхэд O(n²) хугацаа шаардагдах тул ажлын энэ хэсэгт мөн O(n³) хугацаа шаардагдана.

Хэрэв А матриц нь ганц бие биш бол түүнд зориулж LUP задралыг тооцоолж болно P A = L U (\displaystyle PA=LU). Болъё P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Дараа нь урвуу матрицын шинж чанаруудаас бид дараахь зүйлийг бичиж болно. D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Хэрэв та энэ тэгшитгэлийг U ба L-ээр үржүүлбэл та хэлбэрийн хоёр тэгшитгэлийг авч болно U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Тэгээд D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Эдгээр тэгшитгэлүүдийн эхнийх нь n² шугаман тэгшитгэлийн систем юм n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))баруун талууд нь мэдэгдэж байгаа (гурвалжин матрицын шинж чанараас). Хоёр дахь нь мөн n² шугаман тэгшитгэлийн системийг төлөөлдөг n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))баруун тал нь мэдэгдэж байгаа (мөн гурвалжин матрицын шинж чанараас). Тэд хамтдаа n² тэгш байдлын системийг төлөөлдөг. Эдгээр тэгш байдлыг ашиглан бид D матрицын бүх n² элементийг рекурсив аргаар тодорхойлж болно. Дараа нь тэгшитгэлээс (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. тэгш байдлыг олж авна. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU задралыг ашиглах тохиолдолд D матрицын багануудыг солих шаардлагагүй, гэхдээ А матриц ганц биш байсан ч шийдэл нь зөрөөтэй байж болно.

Алгоритмын нарийн төвөгтэй байдал нь O(n³) юм.

Давталтын аргууд

Шульцын аргууд

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\эхлэх(тохиолдлууд)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_() k+1)=U_(k)\нийлбэр _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\төгсгөл(тохиолдлууд)))

Алдааны тооцоо

Анхны ойролцооллыг сонгох

Энд авч үзсэн давталттай матрицын урвуу процессын анхны ойролцооллыг сонгох асуудал нь тэдгээрийг жишээлбэл матрицын LU задралд суурилсан шууд инверцийн аргуудтай өрсөлдөх бие даасан бүх нийтийн арга гэж үзэх боломжийг бидэнд олгодоггүй. Сонгох зарим зөвлөмжүүд байдаг U 0 (\displaystyle U_(0)), нөхцөлийн биелэлтийг хангах ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (матрицын спектрийн радиус нь нэгдлээс бага) бөгөөд энэ нь процессыг нэгтгэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. Гэсэн хэдий ч, энэ тохиолдолд, нэгдүгээрт, урвуу матрицын спектрийн тооцооллыг дээрээс мэдэх шаардлагатай. A A T (\displaystyle AA^(T))(жишээлбэл, хэрэв А нь тэгш хэмт эерэг тодорхой матриц ба ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), дараа нь та авч болно U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\альфа )E), Хаана; хэрэв А нь дурын ганц биш матриц ба ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), дараа нь тэд итгэдэг U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\альфа )A^(T)), бас хаана α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \left(0,(\frac (2)(\бета ))\баруун)); Мэдээжийн хэрэг та нөхцөл байдлыг хялбаршуулж, давуу талыг ашиглаж болно ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\маткал (k))AA^(T)(\маткал (k))), тавих U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Хоёрдугаарт, анхны матрицыг ийм байдлаар зааж өгөхөд тийм баталгаа байхгүй ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)жижиг байх болно (магадгүй энэ нь бүр болж хувирах болно ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), мөн нийлэх хурдны өндөр дарааллыг шууд илрүүлэхгүй.

Жишээ

Матриц 2х2

Илэрхийллийг задлан шинжлэх боломжгүй (синтакс алдаа): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \эхлэх(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \эхлэх& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \төгсгөл(бматриц) = \frac(1)(ad - bc) \ эхлэх (бматриц) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \төгсгөл(бматриц).)

2х2 матрицыг хөрвүүлэх нь зөвхөн дараах тохиолдолд л боломжтой a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).